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ゆったり楽しむ高等数学 【第26回】円分多項式 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/026.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/026.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] $1$ の $n$ 乗根の一つを $\zeta_n$ とする。$\zeta_n^{\;\;i}\;(i=0,\ldots,n-1)$ はみな $1$ の $n$ 乗根である。さてこの中から原始 $n$ 乗根だけをすべて取り出して、それらを $\zeta_n^{\;\;i_1},\zeta_n^{\;\;i_2},\ldots,\zeta_n^{\;\;i_r}$ と書くことにする。さて \[ F_n(x) = (x-\zeta_n^{\;\;i_1})(x-\zeta_n^{\;\;i_2})\cdots(x-\zeta_n^{\;\;i_r}) = \prod_{\zeta_n^{\;\;i}{\rm は原始}n{\rm 乗根}} (x-\zeta_n^{\;\;i}) \] を $n$ 次の円分多項式と呼ぶ。次の等式 \[ x^n-1 = \prod_{d|n}F_d(x) \] を証明せよ。ただし積は、$1\le d \le n$ なる $n$ の全ての約数 $d$ について取るものとする。 ----------------------- [解] $1$ の $n$ 乗根の一つ $\zeta_n^{\;\;i}$ を考えよう。$\zeta_n^{\;\;i}$ が原始 $d$ 乗根であることを $\zeta_n^{\;\;i} \in F_d$ と記すことにする（一見まぎらわしい表記だが、混乱することはないと思う）。これは $F_d(x)$ が因子 $(x-\zeta_n^{\;\;i})$ を含むことを意味している。 $\zeta_n^{\;\;i}$ がいずれかの $F_d$ に属することを示そう。$i$ と $n$ の最大公約数を $g$ とする。また $i=i'g$ および $n=dg$ とする。$i'$ と $d$ は互いに素である。すると $\zeta_n^{\;\;i} = (\zeta_n^{\;\;g})^{\;\;i'}$ であり、$i'$ と $d$ は互いに素なのだから $(\zeta_n^{\;\;g})^{\;\;i'}$ は原始 $d$ 乗根である。よって $\zeta_n^{\;\;i}\in F_d$。 また、$d\neq d'$ に対してある $\zeta_n^{\;\;i}$ が原始 $d$ 乗根かつ原始 $d'$ 乗根ということはありえないことは明らか。 以上より、$1$ の原始 $n$ 乗根はいずれか一つの $F_d$ に属しているし、また原始 $d$ 乗根は明らかに $1$ の $n$ 乗根にもなっているので、等式が成り立つ。 ----------------------- ■問題■ [問] 次の関数 \begin{eqnarray*} f(x) &=& \frac{1}{q}\;\;\;(x {\rm は有理数で、既約分数で表したときの分母(正とする)が} q ) \\ &=& 0 \;\;\;(x \rm{は無理数}) \end{eqnarray*} は $x$ が有理数となる点で不連続、$x$ が無理数となる点で連続であることを示せ。 ----------------------- ■後記■ 最近「数学ガール ゲーデルの不完全性定理」を読みました。私は以前「数学ガール ガロア理論」を読んでおり、今回二冊目になります。 感心するのは、数学の難しい理論をかなり平易に書かれているということです。とにかく文章が流れるように読めます。リズム感が絶妙なのでしょうね。 しかも著者の結城浩さんはプログラミング本の著作もあるようです。私もＳＥなのですが、とにかく見習いたいものです。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |