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ゆったり楽しむ高等数学 【第25回】ガンマ関数 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/025.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/025.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] 次の積分で定義される関数 $\Gamma(z)$ をガンマ関数という。 \[ \Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt \] ただし、$\mathrm{Re}\, z>0$。 ガンマ関数は \[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) \] を満たすことを示せ。特に $n$ を非負整数とすると $\Gamma(n+1)=n!$ となることを示せ。 ----------------------- [解] \begin{eqnarray*} \Gamma(z+1) &=& \int_0^{\infty} t^ze^{-t}dt \\ &=& -[t^ze^{-t}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} zt^{z-1}e^{-t}dt \\ &=& z \int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt = z\Gamma(z) \end{eqnarray*} となり、前半が示された。また \[ \Gamma(1) = \int_0^{\infty} e^{-t}dt = 1 \] より \[ \Gamma(n+1) = n\Gamma(n) = n(n-1)\Gamma(n-1) = \cdots = n! \Gamma(1) = n! \] となり、後半が示された。 ----------------------- ■問題■ [問] $1$ の $n$ 乗根の一つを $\zeta_n$ とする。$\zeta_n^{\;\;i}\;(i=0,\ldots,n-1)$ はみな $1$ の $n$ 乗根である。さてこの中から原始 $n$ 乗根だけをすべて取り出して、それらを $\zeta_n^{\;\;i_1},\zeta_n^{\;\;i_2},\ldots,\zeta_n^{\;\;i_r}$ と書くことにする。さて \[ F_n(x) = (x-\zeta_n^{\;\;i_1})(x-\zeta_n^{\;\;i_2})\cdots(x-\zeta_n^{\;\;i_r}) = \prod_{\zeta_n^{\;\;i}\rm{は原始}n\rm{乗根}} (x-\zeta_n^{\;\;i}) \] を $n$ 次の円分多項式と呼ぶ。次の等式 \[ x^n-1 = \prod_{d|n}F_d(x) \] を証明せよ。ただし積は、$1\le d \le n$ なる $n$ の全ての約数 $d$ について取るものとする。 ----------------------- ■後記■ この前うちの地域でお祭りがあり、その際餅まきが行われたのですが、息子が健闘したおかげで、４０個ほどのお餅をいただきました。感謝です。 ただ、今でも食べきれなく、冷蔵庫で保管中です。カビが生える前までに食べきらなければなりません。 次回は適量だけ拾うよう、アドバイスすることにします。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |