【第22回】ルジャンドル多項式



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ゆったり楽しむ高等数学
【第22回】ルジャンドル多項式

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【趣旨】
数学の楽しみ方には二つ(もっと?)あると思います。
一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。
もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。

このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の
ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。

※初めてこのメルマガを読まれる方は、
http://phys.co-suite.jp/melmag.html
にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。
このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。

==== 数式表示について ====
このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。
かなり読みにくいと思いますので、
http://phys.co-suite.jp/melmag/022.html
でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください(表示に少し時間がかかります)。
また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した
http://phys.co-suite.jp/melmag/022.pdf
の方をご覧ください。


■前回の問題と解答例■

[問] 微分方程式 \[ \frac{d}{dx}\left\{ (1-x^2)\frac{dP_n}{dx} \right\} + n(n+1)P_n(x) =0 \] を満たす多項式をルジャンドル多項式という。このとき次の関係式を示せ。 \[ \int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)dx = 0 \] ただし、$m \neq n$。

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[解] \begin{eqnarray*} & & \frac{d}{dx}\left\{ (1-x^2)\frac{dP_n}{dx} \right\} + n(n+1)P_n(x) =0 \\ & & \frac{d}{dx}\left\{ (1-x^2)\frac{dP_m}{dx} \right\} + m(m+1)P_m(x) =0 \end{eqnarray*} であるが、上式に $P_m(x)$ を、下式に $P_n(x)$ をそれぞれかけて差をとり、積分すると \begin{eqnarray*} & & \int_{-1}^1 dx \left[ P_m(x)\frac{d}{dx}\left\{ (1-x^2)\frac{dP_n}{dx} \right\} \right. - P_n(x)\frac{d}{dx}\left\{ (1-x^2)\frac{dP_m}{dx} \right\} \\ &+& \left. n(n+1)P_m(x)P_n(x) - m(m+1)P_m(x)P_n(x) \right] = 0 \end{eqnarray*} を得る。第一項、第二項に対して部分積分を行うと、 \begin{eqnarray*} & & \left[ (1-x^2)P_m(x)\frac{dP_n}{dx} \right]^1_{-1} - \left[ (1-x^2)P_n(x)\frac{dP_m}{dx} \right]^1_{-1} \\ &-& \int_{-1}^1 dx \left[ (1-x^2)\frac{dP_m}{dx}\frac{dP_n}{dx} - (1-x^2)\frac{dP_n}{dx}\frac{dP_m}{dx} \right] \\ &+& (n(n+1)- m(m+1))\int_{-1}^1 dxP_m(x)P_n(x) \\ &=& (n(n+1)- m(m+1))\int_{-1}^1 dxP_m(x)P_n(x) = 0 \end{eqnarray*} を得る。仮定より $m\neq n$ なので \[ \int_{-1}^1 dxP_m(x)P_n(x) = 0 \] を得る。

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■解説■

実はこの解法は、「【第14回】エルミ−ト行列」でやった、「エルミート行列の、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する」ことを証明したときのと同じ論法です。この微分方程式を $P_n(x)$ → ベクトル、微分演算子 → 線形演算子、$n(n+1)$ → 固有値と捉えれば、この線形演算子はエルミート性を持っていることが示されます。ですので、第14回のと同じ論法が使えたのです。ちなみに量子力学では、この演算子は粒子の角運動量の大きさを表しています。

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■問題■

[問] それぞれ正規分布に従う確率変数 $X$ と $Y$ があり、試行の結果次のような標本が得られたとする。

X10.910.912.713.110.510.611.29.88.58.2
Y12.512.410.613.011.211.114.310.911.612.6

このとき、$X$ と $Y$ の母分散に差があると言えるか? 有意水準 5% で答えよ。ただし、自由度 $(9,9)$ の $F$ 分布の上側 2.5% 点は $4.03$ である。

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■後記■

ウチの長男は初めての夏休みです。毎日遊びほうけてます。私が子供の時もそうでしたが。

宿題は、国語や算数などすぐにできるものは前倒しでやっています。一方図工など手間のかかるものはまだやっていません。これも私が子供の時と同じです。

私は図工や習字は 8/31 もしくは 9/1 にやるのが常でした。

今月末何が繰り広げられるか、今から楽しみです。

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