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ゆったり楽しむ高等数学 【第16回】ガウス曲率 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/016.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/016.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] 次のトーラスのガウス曲率を求めよ。 \[ \left\{ \begin{array}{l} x=(R+r\cos v)\cos u \\ y=(R+r\cos v)\sin u \\ z=r\sin v \\ \end{array} \right. \] ただし、$0<r<R, 0\le u<2\pi, 0\le v<2\pi$。 ----------------------- [解] ここでは第一基本形式、第二基本形式を使って求めてみよう。$X=(x,y,z)$ とおくと、 \[ \left\{ \begin{array}{l} X_u= (-(R+r\cos v)\sin u,(R+r\cos v)\cos u, 0) \\ X_v= (-r\sin v\cos u,-r\sin v\sin u, r\cos v) \\ \end{array} \right. \] を得る。これより第一基本形式の係数を求めると \[ \left\{ \begin{array}{l} (X_u,X_u) = (R+r\cos v)^2 \equiv E \\ (X_u,X_v) = 0 \equiv F \\ (X_v,X_v) = r^2 \equiv G\\ \end{array} \right. \] となる。 次に \[ \left\{ \begin{array}{l} X_{uu}= (-(R+r\cos v)\cos u,-(R+r\cos v)\sin u, 0) \\ X_{uv}= (r\sin v\sin u,-r\sin v\cos u, 0) \\ X_{vv}= (-r\cos v\cos u,-r\cos v\sin u, -r\sin v) \\ \end{array} \right. \] および法線ベクトル \[ X_u \times X_v = (r(R+r\cos v)\cos u \cos v, r(R+r\cos v)\sin u \cos v, r(R+r\cos v)\sin v) \propto n \] \[ n = (\cos u \cos v, \sin u \cos v, \sin v) \] より、第二基本形式の係数を求めると \[ \left\{ \begin{array}{l} (X_{uu},n) = -(R+r\cos v) \cos v \equiv L \\ (X_{uv},n) = 0 \equiv M \\ (X_{vv},n) = -r \equiv N \\ \end{array} \right. \] を得る。 ガウス曲率は \[ K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = \frac{\cos v}{(R+r\cos v)r} \] と求まる。 ----------------------- ■解説■ 今回は微分幾何学の基本的量であるガウス曲率を取り上げました。 ガウス曲率に関しては極めて美しい定理があるのですが、それについては次月にて。 というわけで、今月の問題はこの続きとなります。 ----------------------- ■問題■ [問] 先月の問題と同じトーラス \[ \left\{ \begin{array}{l} x=(R+r\cos v)\cos u \\ y=(R+r\cos v)\sin u \\ z=r\sin v \\ \end{array} \right. \] （ただし、$0<r<R, 0\le u<2\pi, 0\le v<2\pi$） のガウス曲率を全面積について積分したときの値を求めよ。 ----------------------- ■後記■ このまえ新年を迎えたと思ったら、もう２月。一年の１２分の１が過ぎたのですね。 年を取ると時間が経つのが早いと、子供のころから聞かされていましたが、今まさにリアルに体験中です。 ウチの長男も保育園卒園と小学校入学を控えて、親としては準備でいろいろ忙しくしています。大変でもあり、楽しくもある貴重な時間を過ごしています。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |