|
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
ゆったり楽しむ高等数学 【第14回】エルミ−ト行列 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/014.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/014.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] エルミート行列の、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交することを示せ。 ----------------------- [解] $H$ をエルミート行列とする。まず $H$ の固有値は実数となることを示す。$H$ の任意の固有ベクトルを $\mathbf{x}$ とし、その固有値を $x$ と書くことにすると \[ x = (\mathbf{x},H\mathbf{x}) = (\mathbf{x},H^{\dagger} \mathbf{x})^* = (\mathbf{x},H \mathbf{x})^* = x^* \] となり、$x$ は実数であることが分かる。 次に直交性を示す。任意の二つの固有ベクトルを $\mathbf{x},\mathbf{y}$ とすると \begin{eqnarray*} (\mathbf{y},H\mathbf{x}) &=& x (\mathbf{y},\mathbf{x}) \\ &=& (\mathbf{x},H\mathbf{y})^* \\ &=& y^*(\mathbf{x},\mathbf{y})^* \\ &=& y^*(\mathbf{y},\mathbf{x}) \end{eqnarray*} ここで、固有値の実数性より、$y^*=y$ なので \[ (x-y)(\mathbf{y},\mathbf{x}) = 0 \] を得る。さて $x\neq y$ ならば $(\mathbf{y},\mathbf{x})=0$ となる。つまり、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交する。 ----------------------- ■解説■ 量子力学では物理量はエルミート演算子で記述できるとされており（あくまでそう仮定するのですが）、ですのでいたるところでエルミート演算子が利用されます。当然今回の問題のような固有ベクトルの直交性も重要な役割を演じます。 ----------------------- ■問題■ [問] コーシー列は収束することを示せ。 ----------------------- ■後記■ 今年ももうすぐ終わってしまいますね。思えば、あっと言う間の一年でした。 今年は統計学を勉強するという計画を立てていましたが、振り返ると達成度は３０％ぐらいかなと思います。 みなさんは、計画通りの一年だったでしょうか？ ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |