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ゆったり楽しむ高等数学 【第10回】正規部分群 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/010.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/010.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] 群 $G$ の任意の部分集合 $M$ に対して、それを含む最小の正規部分群が存在することを示せ。 ----------------------- [解] まず、$M$ を含む正規部分群が存在することは明らかである。なぜなら $G$ 自身が正規部分群であり、かつ $M$ を含んでいるから。さて $M$ を含む正規部分群の全体 $\{N_i\}$ を考えよう。$N=\cap N_i$ とおく。すると $N$ は $M$ を含む最小の正規部分群である。それを示そう。まず部分群であることから。$x,y\in N$ をとると、全ての $i$ に対して $x,y\in N_i$ であることから、$xy^{-1} \in N_i$ なので $xy^{-1}\in N$。次に正規性であるが、$x\in N$ をとると、全ての $i$ に対して $x\in N_i$ であることから、任意の $a\in G$ に対して $axa^{-1} \in N_i$ なので $axa^{-1}\in N$。 ----------------------- ■問題■ [問] 複素平面上の領域 $D$ とその境界 $\partial D$ で、（正則とは限らない）複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ が定義されている。ただし $z=x+iy$ で、$u(x,y),v(x,y)$ は実関数とする。$u,v$ は微分可能とするとき、 \[ \oint_{\partial D} f(z)dz = 2i \int_D \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} dxdy \] を証明せよ。ただし、グリーンの公式 \[ \oint_{\partial D} (Adx + Bdy) = \int_D \left( -\frac{\partial A}{\partial y}+\frac{\partial B}{\partial x} \right) dxdy \] を使ってもよい。 特に $f(z)$ が上記定義域で正則ならば、コーシーの積分定理が得られる。 ----------------------- ■後記■ 夏真っ盛りとなりました。 学生さんたちは夏休みですね。中には就職活動で汗を流している方々もおられるかも知れません。 年を取ったせいなのか、本当に地球上の気温が上がっているせいなのか、よくは分かりませんが、最近の夏はほんとに体にこたえますね。そんな中でも、ウチの子供たちは汗をかきながらも元気に遊んでおります。うらやましい．．．。 みなさまにおかれましては、熱中症にお気をつけてお過ごし下さい。それからオリンピック観戦で寝不足気味な方は、特に気をつけて下さいね。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |