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ゆったり楽しむ高等数学 【第8回】凸関数の連続性 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/008.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/008.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] 一変数実関数 $f(x)$ を考える。$f(x)$ の定義域の全ての点で $f$ が凸ならば、$f$ は連続であることを証明せよ。ただし $f(x)$ が上に凸とは、$0\le \lambda \le 1$ に対し \[ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2) \] のことであるとする。また $f(x)$ が下に凸とは、 \[ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2) \] のことであるとする。 ----------------------- [解] ここでは、上に凸である場合について考えよう。下に凸である場合は不等号を逆にすればよい。 以下、常に $x_3>x_1$ および $0\le \lambda \le 1$ であるものとする。 まず、$x_2=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_3$ に対して \[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \ge \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \] を示そう。 \[ x_2 = \lambda x_1 + (1-\lambda) x_3 = -(1-\lambda) x_1 + (1-\lambda) x_3 + x_1 \] より \[ x_2 - x_1 = (1-\lambda) (x_3-x_1) \] を得る。一方 $f$ の凸性 \[ f(x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_3) = -(1-\lambda) f(x_1) + (1-\lambda) f(x_3) + f(x_1) \] より \[ f(x_2) - f(x_1) \ge (1-\lambda) (f(x_3) - f(x_1)) \] を得る。以上より \begin{equation} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \ge \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3-x_1} \end{equation} を得る。同様にして \begin{equation} \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} \le \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3-x_1} \end{equation} を得る。 次に、$x_2=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_3$ に対して \[ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \ge \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \] であることを示そう。 \[ \lambda x_1 + (1-\lambda) x_3 = x_2 = \lambda x_2 + (1-\lambda) x_2 \] より \[ \lambda (x_2-x_1) = (1-\lambda) (x_3-x_2) \] を得る。一方 $f$ の凸性 \[ \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_3) \le f(x_2) = \lambda f(x_2) + (1-\lambda) f(x_2) \] より \[ \lambda (f(x_2) - f(x_1))\ge (1-\lambda) (f(x_3) - f(x_2)) \] を得る。以上より \[ \frac{\lambda (f(x_2) - f(x_1))}{\lambda (x_2-x_1)}\ge \frac{(1-\lambda) (f(x_3) - f(x_2))}{(1-\lambda) (x_3-x_2)} \] つまり \begin{equation} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}\ge \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3-x_2} \end{equation} を得る。 さて、点 $x_2$ における $f$ の連続性を調べよう（以後、 $x_2$ は固定し、$x_1$ と $x_3$ を $x_1<x_2<x_3$ となるようにとる）。まず $x_1$ を固定して $x_3$ を $x_2$ に近づけることを考える。(1) の結果より、(3) の右辺は $x_3 \longrightarrow x_2$ に対して単調増加する。一方 (3) の左辺は一定なので、(3) の右辺は上に有界な単調増加である。したがって、ある値に収束する。故に、$f$ は $x_2$ で右微分が存在することになり、したがって右連続である。同様に、$x_3$ を固定して $x_1$ を $x_2$ に近づけることを考え、(2) の結果を使うと、$f$ は $x_2$ で左微分が存在することになり、したがって左連続である。 ----------------------- ■解説■ 証明の中で不等式を三つ証明していますが、グラフを描いてみれば、その幾何学的意味が一目瞭然ですので、ぜひ紙と鉛筆を片手にもう一度読んでみてください。定義域の各点で凸であれば、それだけで連続になってしまうというのが面白く、私自身個人的に気に入っている命題です。 ----------------------- ■問題■ [問] $X$ の部分集合 $A$ が $X$ の空でない任意の開集合と共通部分を持つとき、$A$ は $X$ の中で稠密であるという。実数の集合 $\mathbf R$ において、有理数の集合 $\mathbf Q$ および無理数の集合 ${\mathbf Q}^c$ はいずれも稠密であることを示せ。 証明の中では、必要に応じてアルキメデスの原理 「任意の正数 $a,b\in \mathbf R$ に対して $na>b$ なる整数 $n$ が存在する」 を使え。 ----------------------- ■後記■ ６月となりましたが、何だか平年よりも寒い感じです。 節電には有利かも知れませんが、農作物の収穫がそれよりもずっと心配です。 昔私が学生だった頃、やはり夏場でも長袖を着てもさほど暑くなかった年が ありましたが、その冷夏の翌年は米不足となり、外国から輸入していました。 そのとき私は二重の意味でショックを受けました。一つは米自給率100\%を超える 日本がお米を輸入するということ。もう一つはタイ米の味。 ちなみに、タイ米は最初は食べずらかったものの、数ヵ月後にはだいぶ慣れた という記憶があります。カレーで食べると合うと聞いたのですが、結局それを 試しそこなったのが心残り。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |