【第4回】ε-δ論法
|
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
ゆったり楽しむ高等数学 【第4回】ε-δ論法 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/004.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/004.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問]ある数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} a_n=a$ であるとき、 \[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} = a \] を証明せよ。 ----------------------- [解]任意の $\varepsilon>0$ をとる。仮定よりある $N$ が存在し、$n>N$ なる全ての $n$ に対し、$|a_n-a|<\varepsilon$ が成り立つ。すると任意の $n>N$ に対し、 \begin{eqnarray*} \left| \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}-a \right| &=& \left| \frac{a_1+a_2+\cdots +a_N - Na}{n} + \frac{a_{N+1}+\cdots +a_n - (n-N)a}{n} \right| \\ &\le& \left| \frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots +(a_N-a)}{n} \right| + \frac{|a_{N+1}-a|+\cdots +|a_n-a|}{n} \\ &<& \left| \frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots +(a_N-a)}{n} \right| + \frac{(n-N)\epsilon}{n} \\ &\le& \left| \frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots +(a_N-a)}{n} \right| + \epsilon \end{eqnarray*} ところで、有限和 $(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots (a_N-a)$ は有界なので \[ |(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots (a_N-a)| < M \] なる定数 $M$ が存在する。従って改めて $n > \max\{N,M/\varepsilon\}$ ととれば、 \begin{eqnarray*} \left| \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}-a \right| &<& \frac{M}{n} + \varepsilon \\ &<& \frac{n\varepsilon}{n} + \varepsilon = 2\varepsilon \end{eqnarray*} を得る。すなわち \[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n} = a \] である。 ----------------------- ■解説■ まず、$(a_1+a_2+\cdots +a_n)/n$ を直感的にとらえてみましょう。$a_n$ は $a$ に収束することから、$n$ が大きくなるにつれて、分子は $na$ と大差なくなるということになります。というのは、$n$ が十分大きいときの $a_n$ の値は極めて $a$ に近く、それらが分子の和に大きな寄与を果たすからです。そして $na$ を $n$ で割るわけですから、極限値は $a$ になりそうだという予測が立ちます。 ですから、実際の証明においても、分子を前半（$n\le N$）と後半（$n>N$）に分けるところがミソになります。前半の分子は有限和になっているので、分母の $n$ が大きくなればなるほど、前半は 0 に近づきます。一方、後半は $a_n \rightarrow a$ の仮定があることから、分子の各項自体が 0 に近くなっています。ただし、項の数も $n$ が大きくなるにつれて増えていきますから、そこはきちんと解析が必要なのですが、この問題の場合は、後半も 0 に収束していくのが分かります。 ----------------------- ■問題■ [問]ある医療研究機関が、確度の高いガン発見方法を開発した。大勢のガン患者に対して、この方法をテストした結果、$99\%$ の確率で陽性反応が出た。一方、大勢の健常者に対してもこのテストをやってみると $2\%$ だけではあるが、やはり陽性反応が出た。さて統計的調査によれば、全人口の $0.1\%$ はガンにかかっているということが分かっているとする。さて、巷から無作為に選んだある被験者に対し、このテストをしたら陽性反応が出たとする。このとき、この被験者がガンではない確率を求めよ。 ----------------------- 今回は確率論からです。確率論をやった方には見たことのある有名なタイプの問題ですね。 ----------------------- ■後記■ 最近知ったのですが、ちくま学芸文庫さんから、志村五郎先生の著作が出ているのですね。このメルマガ読者ならご存知であろう志村・谷山予想で有名な志村五郎先生です。 志村・谷山予想がフェルマーの最終定理の解決に大きく貢献したというのは有名な話です。その志村先生が一般向けに本を書かれています。 数学をいかに使うか (ちくま学芸文庫)  数学の好きな人のために: 続・数学をいかに使うか (ちくま学芸文庫)  その場で買おうと思ったのですが、財布に５００円ちょっとしかなく、あえなく断念。しかし、図書館に本があるとの情報を得たので、今度予約しに行きます！ ところで、ちくま学芸文庫さんはランダウ・リフシッツの物理学小教程を復刊されるなど、我々のニーズをうまく汲み取ってくれていて、とても注目しています。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ 登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |