【第3回】上極限集合・下極限集合



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ゆったり楽しむ高等数学
【第3回】上極限集合・下極限集合

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【趣旨】
数学の楽しみ方には二つ(もっと?)あると思います。
一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。
もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。

このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の
ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。

※初めてこのメルマガを読まれる方は、
http://phys.co-suite.jp/melmag.html
にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。
このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。

==== 数式表示について ====
このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。
かなり読みにくいと思いますので、
http://phys.co-suite.jp/melmag/003.html
でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください(表示に少し時間がかかります)。
また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した
http://phys.co-suite.jp/melmag/003.pdf
の方をご覧ください。


■前回の問題と解答例■

[問]集合族 $A_{n}, n\in \mathbf{N}$ を考える。ただし $\mathbf{N}$ は自然数の集合である。このとき
\begin{eqnarray*} &\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n,& \\ &\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n& \end{eqnarray*} はそれぞれどんな集合かを述べよ。ちなみに、これらはそれぞれ上極限集合 $\limsup E_n$、下極限集合 $\liminf E_n$ と呼ばれる。

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[解]まず上極限集合から見よう。その元を $x$ とすると、$x$ は任意の $k\in \mathbf{N}$ に対し、$x\in \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n$ である。言い換えると、任意の $k\in \mathbf{N}$ に対し、ある $n\ge k$ が存在して、その $x$ は $E_n$ の元である。どんなに大きな $k$ をとっても $x$ はなんらかの $E_n$ に属しているということである。これは簡単に言えば、$x$ は無限個の $E_n$ に属しているということになる。

次に下極限集合を見よう。その元を $x$ とすると、$x$ はある $k\in \mathbf{N}$ に対し、$x\in \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n$ である。言い換えると、ある $k\in \mathbf{N}$ に対し、全ての $n\ge k$ に対して、その $x$ は $E_n$ の元である。ある程度の大きさの $k$ をとってしまえば、 それ以上の全ての $n$ を持つ $E_n$ に $x$ は属するということである。これは簡単に言えば、有限個の $E_i$ を除く全ての $E_n$ に $x$ は属しているということになる。

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■解説■
無限個の集合が出てくるので少しとまどうかも知れませんが、和集合および共通部分の定義を思い出しながら、一つ一つ切り分けていけば解ける問題でした。

ところで、下極限集合の任意の元は、「有限個の $E_i$ を除く全ての $E_n$」に属していることから、無限個の $E_n$ に属していることになります。
したがって $\liminf E_n \subset \limsup E_n$ が分かります。
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■問題■
[問]ある数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} a_n=a$ であるとき、
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} = a \] を証明せよ。

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今回は解析学の教科書などでよく出てくるおなじみの問題です。$\varepsilon-\delta$ 論法を思い出して、解いてみてください。

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■後記■

新しい年になりました。

このメルマガはまだ3回目と創刊したばかりではありますが、今年もご愛顧のほどよろしくお願いいたします。

みなさんは今年の年間目標や計画は立てられましたか? 私は、仕事の実用も兼ねて統計学とORを重点的にやろうかと思います。

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          発行者  :柴尾昌克
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