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ゆったり楽しむ高等数学 【第3回】上極限集合・下極限集合 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/003.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/003.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問]集合族 $A_{n}, n\in \mathbf{N}$ を考える。ただし $\mathbf{N}$ は自然数の集合である。このとき \begin{eqnarray*} &\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n,& \\ &\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n& \end{eqnarray*} はそれぞれどんな集合かを述べよ。ちなみに、これらはそれぞれ上極限集合 $\limsup E_n$、下極限集合 $\liminf E_n$ と呼ばれる。 ----------------------- [解]まず上極限集合から見よう。その元を $x$ とすると、$x$ は任意の $k\in \mathbf{N}$ に対し、$x\in \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n$ である。言い換えると、任意の $k\in \mathbf{N}$ に対し、ある $n\ge k$ が存在して、その $x$ は $E_n$ の元である。どんなに大きな $k$ をとっても $x$ はなんらかの $E_n$ に属しているということである。これは簡単に言えば、$x$ は無限個の $E_n$ に属しているということになる。 次に下極限集合を見よう。その元を $x$ とすると、$x$ はある $k\in \mathbf{N}$ に対し、$x\in \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n$ である。言い換えると、ある $k\in \mathbf{N}$ に対し、全ての $n\ge k$ に対して、その $x$ は $E_n$ の元である。ある程度の大きさの $k$ をとってしまえば、 それ以上の全ての $n$ を持つ $E_n$ に $x$ は属するということである。これは簡単に言えば、有限個の $E_i$ を除く全ての $E_n$ に $x$ は属しているということになる。 ----------------------- ■解説■ 無限個の集合が出てくるので少しとまどうかも知れませんが、和集合および共通部分の定義を思い出しながら、一つ一つ切り分けていけば解ける問題でした。 ところで、下極限集合の任意の元は、「有限個の $E_i$ を除く全ての $E_n$」に属していることから、無限個の $E_n$ に属していることになります。 したがって $\liminf E_n \subset \limsup E_n$ が分かります。 ----------------------- ■問題■ [問]ある数列 $\{a_n\}$ に対して $\lim_{n \to \infty} a_n=a$ であるとき、 \[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} = a \] を証明せよ。 ----------------------- 今回は解析学の教科書などでよく出てくるおなじみの問題です。$\varepsilon-\delta$ 論法を思い出して、解いてみてください。 ----------------------- ■後記■ 新しい年になりました。 このメルマガはまだ３回目と創刊したばかりではありますが、今年もご愛顧のほどよろしくお願いいたします。 みなさんは今年の年間目標や計画は立てられましたか？ 私は、仕事の実用も兼ねて統計学とＯＲを重点的にやろうかと思います。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ 登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |