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ゆったり楽しむ高等数学 【第2回】部分群 _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/002.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/002.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問]群 $G$ の二つの部分群 $A,B$ に対して、$AB$ が $G$ の部分群となるためには、$AB=BA$ が成り立つことが必要十分であることを証明せよ。 $AB$ とは群 $A$ の任意の元 $a$ と群 $B$ の任意の元 $b$ の積を集めた集合です。特に $A$ の元が左側、$B$ の元が右側に来ることに注意しましょう。$AB=BA$ は集合として等価という意味であり、決して任意の $a,b$ に対して $ab=ba$ を意味するわけではありません。すなわち「$ab=b'a'$ となるような $a'\in A, b'\in B$ が存在する」ということを意味します。なお、下記の十分条件の証明では集合 $AB$ が単位元を含むことを言わなければ、完全な証明とはなりませんが、これは読者にお任せします。 ----------------------- [解]証明の前に、次のことを示そう。すなわち、$AB$ が $G$ の部分群ならば、$BA$ も $G$ の部分群になる。実際、任意の $a,a' \in A,b,b' \in B$ に対し、$bab'a'=((bab'a')^{-1})^{-1}=(a'^{-1}b'^{-1}a^{-1}b^{-1})^{-1}$ であるが、$AB$ は群なので、ある $a'' \in A,b'' \in B$ を使って $a'^{-1}b'^{-1}a^{-1}b^{-1}=a''^{-1}b''^{-1}$ と書ける。従って $bab'a' = (a''^{-1}b''^{-1})^{-1}=b''a''$ を得る。また $(ba)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ であるが、$AB$ は群なので、ある $a' \in A,b' \in B$ を使って $a^{-1}b^{-1}=(a'b')^{-1}$ と書ける。従って $(ba)^{-1}=(a'b')^{-1}=b'^{-1}a'^{-1}$ を得る。以上より $BA$ も $G$ の部分群であることが分かった。 それでは証明を始めよう。 $AB$ が $G$ の部分群であると仮定する。任意の $a \in A,b \in B$ に対し、$ba$ は $a^{-1}b^{-1}\in AB$ の逆元である。$AB$ は群だから、$a^{-1}b^{-1}$ の逆元である $ba$ も $AB$ の元となる。従って、$BA \subset AB$ が得られる。同様の議論で $AB \subset BA$。ゆえに $AB=BA$。 逆に、$BA=AB$ であると仮定する。任意の $ab,a'b'\in AB$ に対し、$aba'b' = aa''b''b'$ となる。ただし $ba'$ は $BA$ の元であるから、仮定よりある $a''b''\in AB$ を使って $ba'=a''b''$ と書けることを使った。従って $aba'b'\in AB$。また $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\in BA$ であるが、やはり仮定よりこれも $AB$ の元である。故に $AB$ は部分群。 ----------------------- ■解説■ $H$ が 群 $G$ の部分群であるというのは、$H$ が $G$ の部分集合になっていて、かつ $H$ 自身が群になっているということです。 今回の証明では、$H$ が群をなしていること、すなわち、積について閉じていて、単位元と逆元を持つということを愚直に示しました。 ところで、部分群であることを一発で示すことのできる命題があります。それは 「任意の元 $a, b \in H \subset G$ について、$ab^{-1}\in H$ ならば $H$ は $G$ の部分群である」 というものです。 実際、これが正しければ、$H$ が積について閉じていて、単位元と逆元を持つことが帰結されます。 読者の中には、この命題を使って証明した方もおられるでしょうね。 ----------------------- ■問題■ [問]集合族 $A_{n}, n\in \mathbf{N}$ を考える。ただし $\mathbf{N}$ は自然数の集合である。このとき \begin{eqnarray*} &\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} E_n,& \\ &\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} E_n& \end{eqnarray*} はそれぞれどんな集合かを述べよ。ちなみに、これらはそれぞれ上極限集合 $\limsup E_n$、下極限集合 $\liminf E_n$ と呼ばれる。 ----------------------- $\bigcap_{k=1}^{\infty} A_n$ とは任意の $A_n$ に属する元の全体であり、$\bigcup_{k=1}^{\infty} A_n$ とはいずれかの $A_n$ に属する元全体を意味します。 ■後記■ １２月になり朝晩が冷え込んできました。みなさん風邪など引かぬよう十分体調管理しましょう。特に年末は仕事も忙しくなる時期ですしね。受験生もいよいよラストスパークをかけ始めるといったところでしょうか。 ところで、先日うちの次男坊（０歳）がウィルス性胃腸炎にかかりまして。てっきりこういうのは夏に流行るもんだと思っていましたが、今の季節でも流行するのですね。インフルエンザだけでなく、いろんな病気に万全の対策をしなければ．．．。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ 登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |