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ゆったり楽しむ高等数学 【第7回】極大イデアル _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 【趣旨】 数学の楽しみ方には二つ（もっと？）あると思います。 一つは今ある知識を使って難問を解く楽しみ。 もう一つは数学の美しい理論体系を知る楽しみ。 このメルマガでは後者を読者として想定し、だいたい月一回の ペースで高等数学の基礎的な問題を出題します。 ※初めてこのメルマガを読まれる方は、 http://phys.co-suite.jp/melmag.html にも目を通していただけると、よりお楽しみいただけます。 このメルマガの意義と読み方を簡単に説明しています。 ==== 数式表示について ==== このメルマガでは数式はLatexの表記法を使用しています。 かなり読みにくいと思いますので、 http://phys.co-suite.jp/melmag/007.html でも、同じ内容を掲載していますので、ご覧ください（表示に少し時間がかかります）。 また、上記ページが正しく表示されないという方は、PDF化した http://phys.co-suite.jp/melmag/007.pdf の方をご覧ください。 ■前回の問題と解答例■ [問] 可換環 $R$ を考える。$I$ が $R$ の極大イデアルであることと、$R/I$ が体であることは同値であることを示せ。 ----------------------- [解] $I$ は極大イデアルだとする。任意の $a\in R-I$（つまり $[a]\neq 0$）をとる。ここで $R/I$ における $[a]$ の単項イデアル $([a])$ を考える。$I$ は極大イデアルなので、$([a])=R/I$ でなければならない。 なぜならば、$([a])\neq R/I$ だとすると、$([a])$ は $R/I$ の真のイデアルであるが、すると $R$ においても真のイデアルになる（実際任意の $b\in ([a])$ は $\exists m, \; b=[m][a] = ma+I$ と書けるので、$([a])$ は $I \cup \{a\}$ が生成するイデアルになっている。また $R/I-([a]) \neq \emptyset$ なので $ma+I$ の形に書けない元もあるので $([a])$ は $R$ の「真」のイデアル ）。しかもこのイデアルは $I$ を真に含む（$[0]\in ([a])$ なので）。これは $I$ が極大イデアルであることに反する。したがって $([a])=R/I$。すると特に $[1]\in ([a])$ となり、$[a][x]=[1]$ なる $[x]\in R/I$ が存在することになる。従って $R/I$ は体。 次に $R/I$ は体だとする。まず $I=R$ でないことに注意しよう。なぜなら、もし $I=R$ とすると $R/I=\{0\}$ となり、体にはならないからである。さて $I$ を含む別のイデアル $I'$ を考えよう。$a\in I'-I$ なる任意の $a$ をとる。$R/I$ は体なので $[a][x]=[1]$ を満たす $[x]\in R/I$ が存在する。ところで $a\in I'$ なので $ax\in I'$、したがって $1\in I'$ となる。故に $I'=(1)=R$ となり、$I$ は極大イデアルであることが結論される。 ----------------------- ■解説■ 上の証明に出てくる $[\;]$ は同値類を表す記号です。つまり $a$ の $I$ を法とする同値類を $[a]$ と表記しています。文献によっては $a+I$ などと書く場合もありますね。 この命題はよく使われるので、よく覚えておくと良いと思います。 ----------------------- ■問題■ [問] 一変数実関数 $f(x)$ を考える。$f(x)$ の定義域の全ての点で $f$ が凸ならば、$f$ は連続であることを証明せよ。ただし $f(x)$ が上に凸とは、$0\le \lambda \le 1$ に対し \[ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \ge \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2) \] のことであるとする。また $f(x)$ が下に凸とは、 \[ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2) \] のことであるとする。 ----------------------- 定義域の各点で凸であれば、それだけで連続になってしまうというのが面白いと思います。 ----------------------- ■後記■ 数年前から数学を使った何か面白い事業ができないかなと考えています。とは言っても、平凡な私のこと、なかなかいいアイデアが思いつきません。 本職はSEなのですが、将来的にはORやデータマイニングの提案を含めた、システムソリューション・コンサルをやろうと思っており、ORやデータマイニングを少しずつ勉強しています。 ただ、それ以外に何か心ときめくような新事業を創出したいというのが、ホンネです。ちなみに、下記広告欄のインターネット家庭教師もその一つです。 ----------------------- ▼△▼△▼△ 広告 ▼△▼△▼△▼△▼△ インターネット家庭教師 http://phys.co-suite.jp/lecture.html 数学や物理学を学びたいという方を対象に、学習のお手伝いをさせていただいております。 大学学部以上の数学と物理学（およびその周辺分野）専門になっております。 またインターネット環境を使っての学習になりますので、ご自宅にいながら勉強を進めていくことができます。 ----------------------- 本郷（ほんきょう） http://honkyo.jp/ 著者の知り合いが経営している健康関連のお店です。 特にアトピーなど肌が弱い人のためにおススメの石鹸があります。 もちろん敏感肌の方にも！ ----------------------- ▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼△▼ _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ゆったり楽しむ高等数学 発行者 ：柴尾昌克 e-mail ：dirac_eqn(a)yahoo.co.jp (a)を@に変えてください。 公式サイト：http://phys.co-suite.jp/ メルマガ登録・解除：http://www.mag2.com/m/0001366532.html _/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ |